№ 14528

Числа $1, 2, \ldots, 1000$ разбили на два множества по 500 чисел: красные $k_1$, $k_2$, $\ldots$, $k_{500}$ и синие $s_1$, $s_2$, $\ldots$, $s_{500}$. Докажите, что количество таких пар $m$ и $n$, у которых разность $k_m-s_n$ дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар $m$ и $n$, у которых разность $s_n-k_m$ дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные.
Напомним, что остатком от деления целого числа $a$ на 100 называется разность между числом $a$ и ближайшим числом, не большим $a$ и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен $2022-2000=22$, а остаток от деления числа $-11$ на 100 равен $-11-(-100)=89$.