№ 14867

Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. На отрезке $AB$ отмечена точка $Q$, а на отрезке $AC$ — точка $R$ так, что описанные окружности треугольников $BPQ$ и $CPR$ касаются прямой $AP$. Через точки $B$ и $C$ провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника $BPC$, а через точки $Q$ и $R$ — прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника $PQR$. Докажите, что существует окружность, которая касается четырёх проведённых прямых.