Поиск задач

Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,04, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,02. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на 0,04?

Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра радиуса 5, образуя с его осью углы $70^\circ$ и $80^\circ$, а ребро двугранного угла перпендикулярно этой оси и удалено от неё на расстояние 11. Найдите объём части цилиндра, расположенной внутри двугранного угла.

Отрезок $AB=8$ пересекает плоскость $\alpha$ под углом $30^\circ$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $\alpha$ по окружности наименьшего радиуса.

Вычислите $(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)$, если $\sin(\alpha+\beta)=0{,}8$ и $\cos(\alpha-\beta)=0{,}3$.

Когда автомобиль едет из пункта $A$ в пункт $B$, он тратит $25\%$ времени на путь в гору, $60\%$ — по равнине, а остальное время — с горы. Время его движения из $A$ в $B$ и по той же дороге из $B$ в $A$ одинаково, а его скорости в гору, с горы и по равнине постоянны, но различны. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?

Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей к норе кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от кролика до норы было равно 7 м, а до лисы — 13 м. В некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать кролика, прежде чем тот юркнул в нору?

Два поезда, содержавшие по 16 одинаковых вагонов каждый, двигались навстречу друг другу с постоянными скоростями. Ровно через 24 с после встречи их первых вагонов пассажир Миша, сидя в купе второго вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Игорем, а ещё через 40 с последние вагоны этих поездов полностью разъехались. В каком по счёту вагоне ехал Игорь?

Из посёлка на станцию по одной дороге одновременно отправились дачник А пешком и мотоцикл с пассажиром — дачником Б. Не доехав до станции, мотоциклист высадил пассажира и сразу поехал обратно к посёлку, а дачник Б пошёл к станции пешком. Встретив дачника А, мотоциклист посадил его к себе и привёз на станцию. В результате оба дачника прибыли на станцию одновременно. Какую часть пути от посёлка до станции дачник А проехал на мотоцикле, если дачники шли с одинаковой скоростью, в $9$ раз меньшей скорости мотоцикла?

Вася и Петя выбежали одновременно с места старта круговой беговой дорожки и побежали в противоположных направлениях. На бегу в некотором месте дорожки они встретились. Вася пробежал полный круг и, продолжая бег в том же направлении, добежал до места их прежней встречи в тот момент, когда Петя пробежал полный круг. Во сколько раз Вася бежал быстрее Пети?

Два автомобиля преодолели одинаковое расстояние. Скорость первого была постоянна и в 3 раза меньше, чем начальная скорость второго. Второй автомобиль проехал первую половину пути, не меняя скорость, затем он резко сбросил скорость в два раза, проехал с постоянной скоростью ещё четверть пути и снова снизил скорость в два раза, проехал с постоянной скоростью ещё восьмую часть пути, и т. д. После восьмого понижения скорости он не менял её до конца поездки. Во сколько раз второму автомобилю потребовалось больше времени на преодоление всего пути, чем первому?

Из пункта $A$ в пункт $B$ в 8:00 выехал велосипедист, а через некоторое время из $B$ в $A$ вышел пешеход. Велосипедист прибыл в $B$ через 6 часов после выхода оттуда пешехода. Пешеход пришёл в $A$ в 17:00 того же дня. Скорости велосипедиста и пешехода постоянны. Какую долю пути из $A$ в $B$ проехал велосипедист до его встречи с пешеходом?

Ваня опаздывал в школу и, поднимаясь бегом по эскалатору, не сразу заметил, что в момент, когда он ступил на эскалатор, из его сумки выпал учебник. Обнаружив пропажу, Ваня побежал вниз с удвоенной скоростью и через 20 секунд поднял книжку, оказавшись в этот момент ровно посередине эскалатора. От бега Ваня устал и остаток пути провёл стоя. Сколько времени провёл Ваня на эскалаторе?

Коля сел играть в WoW в момент, когда часовая и минутная стрелка были противоположны. Он закончил играть через целое число минут, причём в момент окончания минутная стрелка совпала с часовой. Сколько времени он играл (если известно, что он играл меньше 12 часов)?

Стрелочные часы показывают ровно час. Комар и муха сидят на одинаковом расстоянии от центра на часовой и минутной стрелках соответственно. Когда стрелки совпадают, насекомые меняются местами. Во сколько раз расстояние, которое за полсуток преодолел комар, больше расстояния, которое преодолела за это же время муха?

Семейство Дурслей скрывает Гарри Поттера на острове, который находится на расстоянии 9 км от берега. Берег прямолинейный. На берегу, в 15 километрах от той точки берега, которая ближе всего к острову, находится Хагрид на волшебном мотоцикле, и он хочет добраться до Гарри как можно быстрее. По побережью мотоцикл едет со скоростью 50 км/час, а над морем летит со скоростью 40 км/час. План у Хагрида такой: сначала проехать $X$ километров по побережью, а потом взять курс напрямик на остров. Какое значение $X$ наилучшим образом подходит для целей Хагрида?

В бескрайних калмыцких степях мама отправила маленькую дочку навестить бабушку. У девочки не было ни навигатора, ни компаса, а только часы, которыми она ещё не умела пользоваться, но у которых был ежечасный звуковой сигнал. Зная обычную скорость их любимого верблюда, мама рассчитала маршрут для дочки. Отправляя её в путь при звуковом сигнале часов в направлении, соответствующем положению солнца в этот момент, велела через час (по очередному сигналу часов) изменить направление движения в соответствии с новым положением солнца. Так в конце концов девочка и доехала бы до бабушки. Но, когда пришло время менять направление, девочка заметила далеко впереди юрту своей подружки, она продолжила движение, не меняя направления, доехала до подружки и проговорила с ней 21 минуту, пока не прозвучал следующий сигнал часов. Тогда она вспомнила наставление матери и продолжила путь в направлении, соответствующем новому положению солнца. Как ни странно, до бабушки она доехала. Сколько всего времени (в минутах) она на это потратила?

Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению — и течение снесло его на 12 метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал — он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на 20 метров от желаемой точки. Найдите ширину реки.

Агриппина гоняет в школу на самокате, по тротуару — но на её пути есть два пешеходных перехода со светофорами. От дома до первого перехода расстояние 50 метров, ширина первого перехода равна 30 метров, потом до следующего перехода ей надо ехать 120 метров, второй переход шириной 10 метров — а там уже и школа.
Светофоры работают так:

• на первом переходе машинам даётся 30 секунд, пешеходам — 50 секунд,
• на втором переходе машинам даётся 50 секунд, пешеходам — 50 секунд,

а ещё известно, что ровно в момент выхода из дома первый светофор загорается красным (для пешеходов), а через 10 секунд загорится красным светофор на втором переходе.
Агриппина может гнать сколь угодно быстро, и намерена попасть в школу как можно скорее, но ускорения она не любит — девочка выезжает из дому с постоянной скоростью, которую и будет поддерживать на протяжении всего пути, не считаясь с правилами дорожного движения.
С какой наибольшей скоростью она сможет доехать до школы так, чтобы ей ни разу не пришлось проехать на красный, и чтобы светофор не переключился на красный, пока она ещё на зебре?

Группа отдыхающих в течение 2 ч 40 мин каталась на моторной лодке по реке с постоянной скоростью (относительно воды) попеременно то по течению, то против: в каждую сторону — в общей сложности не менее чем по 1 ч. В итоге лодка прошла путь 40 км (относительно берега) и, отчалив от пристани $A$, причалила к пристани $B$ на расстоянии 10 км от $A$. В какую сторону текла река? Какова при этих условиях максимальная скорость её течения?

Три черепахи одновременно начинают двигаться в одной плоскости по трём концентрическим окружностям с общим центром $O$ и радиусами $R_1=2$ м для первой, $R_2=3$ м для второй и $R_3=9$ м для третьей черепахи. В начальный момент времени черепахи находятся на одном луче с вершиной в точке $O$. Все черепахи двигаются против часовой стрелки с постоянными скоростями, причём скорость третьей черепахи в шесть раз больше скорости второй и относится к скорости первой черепахи как $9:4$. Черепахи продолжают своё движение до тех пор, пока не закончит свой круг последняя из них (та, что потратит на обход своего круга больше всего времени). Сколько раз за это время они окажутся на одной прямой, не проходящей через центр $O$?