Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Дана усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$ с боковыми рёбрами $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ ($ABC\parallel A_1B_1C_1$), такая, что треугольник $ABA_1$ — равносторонний. На ребре $CC_1$, перпендикулярном основанию $ABC$ пирамиды, лежит точка $M$ такая, что $CM:MC_1=1:2$. Сфера $\Omega$ с радиусом $\sqrt5$ проходит через вершины треугольника $ABA_1$ и касается отрезка $CC_1$ в точке $M$.
а) Найдите длину ребра $AB$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle BAC=\arcsin\frac1{\sqrt3}$. Найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABA_1$, а также длину ребра $A_1C_1$.
а) Найдите длину ребра $AB$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle BAC=\arcsin\frac1{\sqrt3}$. Найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABA_1$, а также длину ребра $A_1C_1$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, грани $ABCD$ и $CDD_1C_1$ которого являются прямоугольниками. Сфера $S$ касается прямых $B_1C_1$ и $C_1D_1$, плоскости $CDD_1$, а также плоскости $ABC$ в точке $A$. Эта сфера повторно пересекает отрезок $AC_1$ в точке $M$. Найдите $\angle BB_1C_1$ и объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AM=5$, $C_1M=3$.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $SABC$, медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Сфера $\Omega$ касается ребра $AS$ в точке $L$ и касается плоскости основания пирамиды в точке $K$, лежащей на отрезке $AM$. Сфера $\Omega$ пересекает отрезок $SM$ в точках $P$ и $Q$. Известно, что $SP=MQ$, площадь треугольника $ABC$ равна 90, $SA=BC=12$.
а) Найдите произведение длин медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $\Omega$ касается грани $BCS$ в точке $N$, $SN=4$, а радиус сферы $\Omega$ равен 5.
а) Найдите произведение длин медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $\Omega$ касается грани $BCS$ в точке $N$, $SN=4$, а радиус сферы $\Omega$ равен 5.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=\sqrt5$, $AD=DC=\sqrt2$, $AC=2$. Ребро $SD$ — высота пирамиды. Известно, что $SA+SB=2+\sqrt5$. Найдите:
а) объем пирамиды;
б) радиус шара, касающегося граней $ABCD$, $SAB$, $SBC$ и ребра $SD$.
а) объем пирамиды;
б) радиус шара, касающегося граней $ABCD$, $SAB$, $SBC$ и ребра $SD$.
Ответ:
Решение:
Шар $\Omega$ касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар $\omega$ касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
Ответ:
Решение:
В прямую четырёхугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписана сфера $\omega$. Луч с началом в точке $A$ пересекает $\omega$ в точках $P$ и $Q$, а луч с началом в точке $C$ пересекает $\omega$ в точках $M$ и $N$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и расстояние $\rho$ от центра $\omega$ до плоскости $PAC$, если известно, что \[ AO=1,\quad BO=2,\quad CO=4,\quad AP=\dfrac{\sqrt{5}}{3},\quad AQ=\dfrac{5\sqrt{5}}{3},\quad CM=\dfrac{10\sqrt{5}}{9},\quad CN=2\sqrt{5}. \]
Ответ:
Решение:
В школьном турнире по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. После того, как к числу участников добавилась одна команда, количество встреч увеличилось на $8\%$. Сколько команд участвовало в первенстве после добавления команды?
Ответ:
Решение:
Во время загородной поездки автомобиль на каждые сто километров пути расходует на пять литров бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с заправки с полным баком, проехал $180$ км по городу и $130$ км по загородному шоссе до заправки. Заправив автомобиль, он обнаружил, что в бак вошло $43{,}1$ литра бензина. Найдите расход бензина (в литрах) на сто километров пути при поездке по городу.
Ответ:
Решение:
У семейной пары дни рождения в один и тот же день. При очередном праздновании их общего дня рождения муж заметил, что сейчас ему вдвое больше лет, чем было его жене тогда, когда ему было столько лет, сколько жене сейчас. А когда ей будет столько лет, сколько ему теперь, им обоим вместе будет $81$ год. Сколько лет мужу сейчас?
Ответ:
Решение:
У весов сдвинута стрелка, то есть они всегда показывают на фиксированное число граммов больше (или меньше) чем истинный вес. Когда на весы положили дыню, весы показали $2$ кг. Когда на весы положили арбуз, весы показали $4$ кг. Когда взвесили и арбуз, и дыню, весы показали $7$ кг. Сколько кг покажут весы, если на них поставить гирю в $2$ кг?
Ответ:
Решение:
С первого поля собрали $600$ килограммов пшеницы, а со второго — $1\,200$ килограммов пшеницы, при этом известно, что на первом поле с одного квадратного метра было собрано на $50$ граммов меньше пшеницы, чем на втором. На следующий год было решено внести дополнительные удобрения, в результате чего урожай на каждом из полей стал равен $2\,400$ килограммов. При этом урожайность на втором поле оказалась на $100$ граммов с квадратного метра меньше, чем на первом. Найдите площадь первого поля. Ответ дайте в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
В магазине 5 килограммов моркови стоят столько же, сколько 4 килограмма свёклы и 1 килограмм картофеля. Известно, что если купить по 6 килограммов самого дорогого и самого дешёвого из этих овощей и добавить к этой покупке 2 килограмма моркови и 3 килограмма картофеля, то стоимость этого набора овощей будет равна стоимости 19 килограммов моркови. Определите стоимость килограмма картофеля, если известно, что килограмм самого дорогого из овощей стоит на 10 рублей больше килограмма самого дешёвого.
Ответ:
Решение:
Время работы ноутбука от батареи обратно пропорционально мощности, потребляемой всеми его компонентами. Если ноутбук полностью заряжен, то он проработает с максимальной яркостью экрана $4$ часа. При этом $2/3$ мощности потребляет экран. Вася использует ноутбук следующим образом: каждый раз, когда батарея разряжается на очередные $25\%$ от изначального значения (то есть достигает уровня $75\%$, $50\%$, $25\%$), он уменьшает яркость экрана на $25\%$ (от первоначального значения яркости). Сколько времени ему удастся проработать за ноутбуком? Мощность, потребляемая экраном, прямо пропорциональна яркости экрана. Ответ выразите в часах и при необходимости округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left|2^{\sqrt{x-1}-1}-1\right|+\dfrac{5}{3}\leqslant\dfrac{2^{\sqrt{x-1}+3}}{3}-4^{\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}}. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ x^{\log_3 x}-2\leqslant\left(\sqrt[3]{3}\right)^{\log^2_{\sqrt3}x}-2\cdot x^{\log_3\sqrt[3]{x}}. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \log_9 4+\left(16-\log_3^2 2\right)\log_{162}3\leqslant 64^{\log_4^2 x}-15\cdot x^{\log_4 x}. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ 27^{\sqrt{\log_3 x}}-11\cdot 3^{\sqrt{4\log_3 x}}+40\cdot x^{\sqrt{\log_x 3}}\leqslant 48. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \log_{\frac12}\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)-\log_{\frac12}\left(\dfrac{x^2}{2}+4x+9\right)\leqslant 2\log_4(x^2+5x+6). \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \frac{125+\left(\log_{\frac12}x^4\right)^3}{\log_2x^4\cdot\log_2x^2+6\log_{\frac12}x^4+17\log_2x^2-3}\geqslant 0. \]
Ответ:
Решение: