Поиск задач

Решите уравнение \[ \frac12\left|\cos 2x+\frac12\right|=\sin^2x+\sin x\sin 5x. \]

Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $333300$ и таких, что $k^2-2k$ делится нацело на $303$.

Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} y=b-x^2,\\ x^2+y^2+2a^2=4-2a(x+y) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.

В углы $C$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $BC$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $CK_1=3$, $BK_2=7$ и $BC=16$.
а) Найдите длину отрезка $CK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $ACB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.

Решите систему \[ \begin{cases} 2x+y+8\leqslant 0,\\ x^4+2x^2y^2+y^4+9-10x^2-10y^2=8xy. \end{cases} \]

На ребре $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с вершиной $S$ отмечена точка $K$ такая, что $AK:KS=1:4$. Точка $K$ является вершиной прямого кругового конуса, на окружности основания которого лежат три вершины пирамиды $SABCD$.
а) Найдите отношение $DS:BC$.
б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды $SABCD$ равна $5$. Найдите объём конуса.

Решите уравнение \[ x^{\log_2(0{,}25x^3)}=512x^4. \]