Поиск задач

Кузнечик начинает движение в левой верхней клетке квадрата $10\times10$. Он может прыгать на одну клетку вниз или вправо. Кроме того, кузнечик может из самой нижней клетки любого столбца перелететь в самую верхнюю клетку того же столбца, а из самой правой клетки любой строки перелететь в самую левую клетку той же строки. Докажите, что кузнечику понадобится хотя бы 9 перелетов, чтобы побывать на каждой клетке квадрата хотя бы по одному разу.

За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо чудак. Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет. Чудак говорит

• правду, если слева от него сидит лжец;
• ложь, если слева от него сидит рыцарь;
• все что угодно, если слева от него сидит чудак.

Каждый сказал: «Справа от меня сидит лжец». Сколько за столом лжецов? Перечислите все возможные ответы и докажите, что других нет.

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $BD$. Точка $M$ — середина диагонали $AC$. Прямая $BM$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Докажите, что $BE=CE$.

На парковке стоят машины. Среди них есть машины марок «Тойота», «Хонда», «Шкода», а также машины других марок. Известно, что не «Хонд» в полтора раза больше, чем не красных машин; не «Шкод» в полтора раза больше, чем не желтых машин; наконец, не «Тойот» вдвое меньше, чем красных и желтых машин вместе. Докажите, что «Тойот» не меньше, чем «Хонд» и «Шкод» вместе.

Таблица $70\times70$ заполнена числами от 1 до 4900:

• в первой строке слева направо выписаны числа от 1 до 70 в порядке возрастания;
• во второй строке точно так же выписаны числа от 71 до 140;
• и т. д.;
• в последней строке слева направо выписаны числа от 4831 до 4900.

Можно ли в этой таблице найти такую клеточку, что сумма пяти чисел, находящихся в ней и четырёх клеточках, соседних с ней по сторонам, равна 2018?