Поиск задач

В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: «Ты отличник?», «Ты троечник?», «Ты двоечник?». Ответили «Да»: на первый вопрос — 19 учащихся, на второй — 12, на третий — 9. Сколько троечников учится в этом классе?

Расставьте в левой части равенства \[ \frac{1}{a}\quad\frac{1}{a}\quad\frac{1}{a}\quad\frac{1}{a}\quad\frac{1}{a}=(a+1)(a-1) \] знаки арифметических операций и скобки так, чтобы равенство стало верным для всех $a$, отличных от нуля.

В прямоугольнике $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $K$ так, что $CK=BC$. На стороне $BC$ отмечена точка $M$ так, что $KM=CM$. Докажите, что $AK+BM=CM$.

Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

Точки пересечения графиков четырех функций, заданных формулами $y=kx+b$, $y=kx-b$, $y=mx+b$ и $y=mx-b$, являются вершинами четырёхугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.