Поиск задач

Решить систему уравнений \[\begin{cases}\dfrac{x^3}{y}-2xy=16,\\ \dfrac{y^3}{2x}+3xy=25.\end{cases}\]

Найти все значения $a$, при которых уравнение \[\log_{4x}(1+ax)=\dfrac{1}{2}\] имеет единственное решение.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ вершины $A$, $B$ и точка пересечения высот треугольника $E$ лежат на окружности, которая пересекает отрезок $BC$ в точке $D$. Найти радиус окружности, если $CD=4$, $BD=5$.

Решить неравенство \[\dfrac{1}{|\log_2 2x|-2}\leqslant\dfrac{1}{|\log_4 x^2|-1}.\]

В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $12$, $\angle ADB=2\,\mathrm{arctg}(3/4)$. В треугольнике $ABD$ проведена биссектриса $BA_1$, а в треугольнике $BCD$ проведены медиана $BC_1$ и высота $CB_1$. Найти:
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.

Решить уравнение \[\dfrac{\sin^2 7x}{\sin^2 x}=16\cos 4x\,(1+2\cos 4x)+\dfrac{\cos^2 7x}{\cos^2 x}.\]