Поиск задач

Сложить квадрат наименьшей площади из квадратиков размера $1\times1$, $2\times2$ и $3\times3$ так, чтобы количество квадратиков каждого размера было одинаковым.

Сколькими способами можно разложить число 10000 на три натуральных множителя, ни один из которых не делится на 10? Считаем, что разложения, отличающиеся только порядком сомножителей, не различаются.

В правильном 2017-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то $N$ диагоналей. При каком наименьшем $N$ среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину?

На сколько нулей оканчивается число \[ \Bigl(1\underbrace{00\ldots0}_{2017}1\Bigr)^{2017}-1\,? \]

Назовем число замечательным, если оно имеет ровно 4 различных натуральных делителя, причем среди них найдутся два таких, что ни один не кратен другому. Сколько существует замечательных двузначных чисел?

Найдите $a$ такое, что сумма квадратов действительных корней уравнения $x^4+ax^2-2017=0$ равна 4.

В трапеции известны длины диагоналей — 6 и 8, а также длина средней линии — 5. Найдите высоту трапеции.

Фирма проводила опрос сотрудников — какими социальными сетями они пользуются: ВКонтакте или Одноклассниками. Некоторые сотрудники ответили, что используют ВКонтакте, некоторые — Одноклассников, некоторые сказали, что используют обе социальные сети, а 40 сотрудников сказали, что не пользуются соц. сетями. Среди всех, кто использует соц. сети, ВКонтакте используют 75%, а 65% — обе сети. Доля тех сотрудников, которые используют Одноклассников, от общего числа всех сотрудников равна $5/6$. Сколько всего сотрудников работает в фирме?