Поиск задач

Решите систему \[\begin{cases}4\cos^2x+\cos^25y=4\cos x\cos^65y,\\ \lg(x-y)^2\lt 2\lg(2\pi)-\lg5-\lg45.\end{cases}\]

Решите уравнение \[x-\sqrt{x}\cdot2^{-x^6}=2^{1-2x^6}.\]

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ квадрата $ABCD$, пересекает прямые $AD$ и $AC$ в точках $E$ и $F$, отличных от точки $A$. Длина ортогональной проекции отрезка $EF$ на прямую $AC$ равна 1. Какой при этих условиях может быть длина стороны квадрата?

В желобе, имеющем форму двугранного угла величины $2\arcsin\frac{1}{3}$, неподвижно лежит шар радиуса 3, касаясь при этом обеих граней. Другой шар скользит вдоль желоба, также постоянно касаясь каждой из граней, и проскальзывает мимо неподвижно лежащего шара, не сталкиваясь с ним и даже не касаясь его. Найдите все возможные значения радиуса скользящего шара.

В школе было три урока. Но только 4 школьника были на всех уроках. Каждый из остальных «учеников» присутствовал только на двух уроках, а один из уроков прогулял. На математике в классе было 17 школьников, на физике — 18, на русском — 19. Сколько школьников присутствовало и на математике, и на физике (не имеет значения, удостоили ли они своим посещением урок русского языка)?