Поиск задач

Решите систему уравнений \[\begin{cases} x^2y+x+xy^2+y+5=0,\\ x+y+xy+5=0.\end{cases}\]

Решите уравнение в целых числах: \[\sqrt{9x^2+160x-800}=3x-y.\]

При каких значения параметра $a$ неравенство \[\frac{1}{3\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{4-x}}+\left|\frac{1}{3\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{4-x}}\right|+a\leqslant 0\] имеет единственное решение? Найдите это решение.

Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Незнакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а прочитанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает её ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где закончила чтение. В какой день недели бабушка прочтёт книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь её внук переносит закладку на 20 страниц назад?

Найдите все $x$ из отрезка $[0;2\pi]$, для которых \[\log_{\sin x}\cos x\gt \log_{\operatorname{ctg}x}\cos x.\]

Вокруг четырёхугольника $ABCD$ описана окружность с центром в точке $O$. Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника перпендикулярны, $AB=4$, $DC=5$. Какие значения может принимать площадь треугольника $AOB$?