Поиск задач

Найти все тройки чисел $(x;y;z)$, для которых \[ \begin{cases} 5\sin^2 x+\cos^2 x-4\sin x+y^2=0,\\ \cos x+\cos y+\cos z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \]

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам \[ x\leqslant 1,\quad y\leqslant 1,\quad x+y\geqslant 0{,}5. \] Найти наибольшее значение выражения $xy-x-y$. При каких $x$ и $y$ оно достигается?

Грабитель узнал, что код замка — четырехзначное число, содержащее в своей записи единицу, семерку и две пятерки. Ему не было известно, что замок открывается, если сумма всех положительных делителей кода достигает своего наибольшего возможного значения. Найти код, открывающий замок.

Петя пополнил свою карту на 1001 руб., переведя через банкомат целое число рублей. Известно, что взымаемая при этом комиссия — целое число процентов, меньшее 23. Какую сумму положил Петя в окошко банкомата?

Известно, что сумма плоских углов при каждой вершине треугольной пирамиды равна $180^\circ$, а периметр основания равен $p$. Найти сумму длин всех ребер пирамиды.