Поиск задач

Сколькими способами в прямоугольнике $60\times 70$ можно разместить две кости домино $1\times 2$?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.

Найдите сумму квадратов всех решений уравнения \[ x^2-14[3x]+152=0. \] (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.)

Вера написала на доске восьмизначное число. Надя переставила три первые его цифры в конец и написала полученное восьмизначное число на доске (например, если Вера написала 12345678, то Надя написала 45678123). Люба сложила два написанных на доске числа. Сколько различных чисел из отрезка $[23100000;23100140]$ могло получиться у Любы?

Окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точке $T$. Прямая $\ell$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $B$, а окружность $\Omega$ — в точках $C$ и $D$, причём $B$ лежит между $A$ и $C$, $C$ лежит между $B$ и $D$, а центры окружностей лежат по одну сторону от $\ell$. Известно, что $AB:BC:CD=4:1:6$. Найдите $BC^2$. При необходимости округлите ответ до трёх знаков после запятой.

На рёбрах $BC$, $AB$ и $A_1B_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $K$, $L$ и $M$ соответственно так, что $BC:BK=AL:LB=B_1M:MA_1=2$. Прямая $\ell$ пересекает прямые $CD$, $C_1K$, $B_1D_1$ и $LM$ в четырёх различных точках $E$, $F$, $G$ и $H$ соответственно. Найдите длину отрезка $HE$, если известно, что $GE=3$.