Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 6
· весь вариант по порядку
Найдите наименьшее натуральное число $m$, при котором выражение $148^n+m\cdot141^n$ делится на 2023 при любом нечетном натуральном $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \bigl|2+|x|-a\bigr|-\bigl|a-|x+1|-|x-1|\bigr|=2+|x|+|x+1|+|x-1|-2a \] имеет ровно два целых решения. Укажите эти решения при каждом из найденных $a$.
Ответ:
Решение:
Сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ образовано плоскостью, проходящей через вершину $C$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $BM$ боковой грани $SAB$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно 1. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Астрономы обнаружили за планетой Сатурн новое небесное тело, движущееся по круговой орбите, для изучения которого был направлен научно-исследовательский зонд — автономный робот, оснащенный ракетными двигателями, собственной энергетической установкой, системами радиосвязи и навигации, научными приборами, фото- и видеотехникой. И все это управляется бортовыми компьютерами. Для изучения найденного объекта было принято решение произвести фотосъемку в двух точках его орбиты. После съемок в первой точке, потребовалось скорректировать скорость движения зонда, чтобы иметь возможность сделать еще один фотоснимок небесного тела в другой точке его орбиты.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке $O$ и радиусом $R=1{,}2\cdot10^6$ км с постоянной угловой скоростью $\omega=0{,}25\cdot10^{-5}$ рад/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1$, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $P$ и $K$. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки $P$ и $K$). Когда небесное тело (точка $T$) оказывается строго на прямой между точкой $O$ и подзондовой точкой (точка $Z$), запускается таймер ($t_0=0$). В точке $P$ небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $K$ вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке $PK$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $PK$, если центральный угол $POK$ равен углу $PZO$ и в полтора раза меньше центрального угла $POT$. В расчетах используйте приближенное значение числа $\pi$ — округлите его до целого значения.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке $O$ и радиусом $R=1{,}2\cdot10^6$ км с постоянной угловой скоростью $\omega=0{,}25\cdot10^{-5}$ рад/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1$, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $P$ и $K$. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки $P$ и $K$). Когда небесное тело (точка $T$) оказывается строго на прямой между точкой $O$ и подзондовой точкой (точка $Z$), запускается таймер ($t_0=0$). В точке $P$ небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $K$ вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке $PK$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $PK$, если центральный угол $POK$ равен углу $PZO$ и в полтора раза меньше центрального угла $POT$. В расчетах используйте приближенное значение числа $\pi$ — округлите его до целого значения.
Ответ:
Решение:
Игральный кубик подбрасывают дважды, при этом вычисляют и записывают сумму выпавших очков. Такую процедуру повторяют три раза (всего совершают шесть подбрасываний). Найдите вероятность того, что только одна из трех записанных сумм кратна трем.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$, $M$ — точка пересечения $BK$ и $AA_1$, $N$ — точка пересечения $BL$ и $CC_1$. Найдите отношение $MS:SN$, если $S$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $MN$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.
Ответ:
Решение: