Поиск задач

Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?

Окружность проходит через вершины $A$ и $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$), а также через точку $L$ пересечения стороны $BC$ с биссектрисой $AL$. Катет $AC$ точкой пересечения $N$ с окружностью оказался разделён на два отрезка: $AN=4$, $NC=8$. Найдите площадь треугольника $ABC$. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ такова, что $a_1=8\,866\,411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[ a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}{8}. \] Найдите $a_{508}$.

По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идёт по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идёт, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.

Решите уравнение \[ 2\sqrt[3]{x+2}-2\sqrt[3]{x-4}=3\sqrt[6]{x^2-2x-8}. \] Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.