Поиск задач

На доску выписаны попарно различные натуральные числа: часть из них чётны, но не делятся на $3$, остальные же делятся на $3$ и при этом нечётны. Оказалось, что выбрать тройку чисел из выписанных на доску так, чтобы среди них оказалось хотя бы одно чётное и хотя бы одно кратное $3$, можно $25$ способами. Сколько было выписано чисел?

Найдите количество шестизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна $12345$.

Найдите все пары чисел $(a;b)$ такие, что неравенство \[-\dfrac{10x+10}{5x+6}\leqslant ax+b\leqslant 5x+2+|10x+6|\] выполнено для всех $x$ на промежутке $\left[-1;-\dfrac25\right]$.

Биссектрисы внутреннего и внешнего угла $A$ треугольника $ABC$ пересекают прямую $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружность, описанная вокруг треугольника $AMN$, касается стороны $AB$ в точке $A$. Прямая $AC$ повторно пересекает окружность в точке $K$. Найдите радиус окружности, угол $ACB$ и площадь четырёхугольника $ANKM$, если известно, что $AB=3\sqrt3$, $BM=\sqrt6$.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм с тупым углом $C$. Пусть $E$ — точка пересечения прямой $AB$ с перпендикуляром к $AC$, проходящим через $C$, а прямая $ED$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Известно, что $CN=6$, $AN=12$, а $\mathrm{tg}\left(\frac12\angle ADC\right)=\frac45$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.

Числа $a$, $b$, $c$ — соответственно первый, второй и третий члены некоторой арифметической прогрессии (при этом $a$, $b$, $c$ не заданы, но известно, что $c\lt b\lt a$). Больший корень уравнения $ax^2-2bx+c=0$ является четвёртым членом этой прогрессии. Найдите его.

Решите систему уравнений \[\begin{cases} x-\sqrt[3]{y^2-x^2}=17,\\ y-\sqrt[3]{y^2-x^2}=-10.\end{cases}\]