Поиск задач

Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} a^2-2ax-6y+x^2+y^2=0,\\ (|x|-4)^2+(|y|-3)^2=25 \end{cases} \] имеет ровно два решения.

Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ c центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac54$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.

Вокруг цветка в одной плоскости с ним по двум окружностям летают шмель и пчела. Скорость пчелы в полтора раза больше скорости шмеля. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой цветок (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Пчела двигается по часовой стрелке, а шмель — против. В начальный момент времени пчела и шмель находятся в точках $M_0\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$ и $N_0(2;0)$ соответственно. Определите координаты всех положений шмеля, в которых расстояние между ним и пчелой будет кратчайшим.

Бросили 70 игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях; вероятность выпадения каждой из граней одна и та же) и посчитали сумму выпавших чисел. Какая из вероятностей больше: того, что сумма больше 350, или того, что сумма не больше 140?

Найдите все тройки целочисленных параметров $a$, $b$ и $c$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} ax+2y+cz=c,\\ 3x+by+4z=4b \end{cases} \] не имеет решений.

Решите уравнение \[ 2x^4+x^2-6x-3x^2|x-3|+9=0. \]

Решите неравенство \[ \left(\sqrt{x^3-10x+7}+1\right)\cdot\left|x^3-18x+28\right|\leqslant0. \]