Олимпиада «Физтех»

На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Муравей двигается по часовой стрелке, а жук — против. В начальный момент времени муравей и жук находятся в точках $M_0\left(-1;\sqrt3\right)$ и $N_0\left(2\sqrt3;2\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, в которых расстояние между ним и муравьём будет кратчайшим.

Найдите все пары действительных параметров $a$ и $b$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} 3(a+b)x+12y=a,\\ 4bx+(a+b)by=1 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений.

Решите уравнение \[ (x+3)\sqrt{x^3-x+10}=x^2+5x+6. \]

Решите неравенство \[ 2x^4+x^2-2x-3x^2|x-1|+1\geqslant0. \]

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 1400. Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.

Решите систему \[ \begin{cases} |x-3-y|+|x-3+y|\leqslant6,\\ (|x|-3)^2+(|y|-4)^2=25. \end{cases} \]