Олимпиада «Ломоносов»

Болельщики должны выбрать 6 лучших хоккеистов чемпионата: одного вратаря, двух защитников и трех нападающих. Среди претендентов: 3 вратаря, 5 защитников, 6 нападающих и 3 «универсала». «Универсал» — игрок, хороший в разных ролях, который поэтому может быть выбран как в качестве защитника, так в качестве нападающего (но не вратаря). Сколько существует способов выбрать эту шестерку? Требуется получить числовое значение.

Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг — одна от окружности с центром в $(0;0)$, проходящей через $(0;1)$, другая — от окружности с центром в $(1;0)$, проходящей через $(0;1)$.
К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса $0.5$. Найдите площадь получившейся фигуры.

Решите уравнение: \[ \left|x^2+y^3-19\right|+\left|x^2y+xy^2+6\right|+\frac{x|y|-y|x|+2xy}{xy}=0. \]

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $\angle ABM=15^\circ$, $\angle MBN=45^\circ$ и $\angle NBC=75^\circ$, а сумма и произведение площадей треугольников $ABM$ и $NBC$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Найдите минимальное значение выражения\[\frac{2bc-2a^2+2a}{2a}+\frac{2ca-2b^2+2b}{2b}+\frac{2ab-2c^2+2c}{2c},\qquad a,b,c\gt 0.\]

Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на $180^\circ$. По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что любую из дуг $AB$ длиной 15 км он проезжает за 7 минут, любую из дуг $BC$ длиной 25 км — за 11 минут, а любую из дуг $AC$ — за 17 минут. Выехав из точки $A$, автомобиль через 1 час 25 минут оказался в ней же. Сколько километров проехал автомобиль?

Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом — осью $Ox$ и графиком некоторой параболы $y=a-bx^2$). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками — на параболе отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$ и соединили их между собой балками. Балки $AB$ и $CD$ параллельны полу, $AD$ пересекается с $BC$, и при этом $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$. Найдите расстояние между балками $AB$ и $CD$.

Пусть $S(n)$ означает сумму цифр натурального числа $n$. Найти наибольшее 100-значное натуральное число $n$, удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ($1\leqslant m\leqslant n$) справедливы равенства $S(mn)=S(n)$.