Олимпиада «Ломоносов»

Два автомобиля преодолели одинаковое расстояние. Скорость первого была постоянна и в 3 раза меньше, чем начальная скорость второго. Второй автомобиль проехал первую половину пути, не меняя скорость, затем он резко сбросил скорость в два раза, проехал с постоянной скоростью ещё четверть пути и снова снизил скорость в два раза, проехал с постоянной скоростью ещё восьмую часть пути, и т. д. После восьмого понижения скорости он не менял её до конца поездки. Во сколько раз второму автомобилю потребовалось больше времени на преодоление всего пути, чем первому?

Сколько существует делителей числа $2021^{2021}$, кубический корень из которых является натуральным числом?

Решите систему\[\begin{cases}\left|x^4-625x^2\right|\neq x^4-625x^2,\\ \left|6x^2-257x+251\right|+6x^2-257x+251=0.\end{cases}\]

Сколько существует троек чисел $a$, $b$, $c$, каждое из которых служит корнем соответствующего уравнения $ax^2+bx+c=0$?

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x+\dfrac1x+\dfrac{x}{x^2+1}$ при $x\gt 0$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ со стороной $AC=1$ провели высоту $BH$, в треугольнике $BHC$ — биссектрису $CL$, в треугольнике $BLC$ — медиану $BM$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, причём $\angle BHK=\angle MHC=15^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника $KLHM$.

На числовой прямой отмечены 200 точек, имеющие координаты $1, 2, \ldots, 200$. Двое игроков по очереди ставят в любую из ещё незанятых точек число «0» или число «1». Когда все возможные ходы сделаны, рассматриваются 199 отрезков $[1;2]$, $[2;3]$, $[3;4]$, …, $[199;200]$ и подсчитываются баллы за каждый отрезок: если концы отрезка содержат одинаковые числа, то 1 балл получает первый игрок, если разные — то второй.
а) Кто из игроков может обеспечить себе бо́льшую сумму баллов независимо от ходов соперника?
б) С каким максимальным преимуществом одного из игроков может закончиться эта игра (при условии, что каждый игрок играет наилучшим для себя образом)?