Московская математическая олимпиада

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции $y=\sin x$. Может ли та же кривая являться графиком функции $y=\sin^2x$ в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

Верно ли, что любые $100$ карточек, на которых написано по одной цифре $1$, $2$ или $3$, встречающейся не более чем по $50$ раз каждая, можно разложить в один ряд так, чтобы в нём не было фрагментов $11$, $22$, $33$, $123$ и $321$?

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $O$, что $\angle ABO=\angle CAO$, $\angle BAO=\angle BCO$, $\angle BOC=90^\circ$. Найдите отношение $AC:OC$.

При какой перестановке $a_1$, $a_2$, …, $a_{2011}$ чисел $1$, $2$, …, $2011$ значение выражения \[a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^{a_{2010}^{a_{2011}}}}}}}\] будет наибольшим?

По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани — свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что любые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше $1$ см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся независимо от пирамиды, начального положения и скорости жуков.