Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Ваня налил себе полный стакан смеси кофе с молоком. Сначала, выпив половину смеси, он долил в стакан доверху кофе и перемешал. Затем, выпив половину новой смеси, долил в стакан доверху молоко и вновь перемешал. Доля кофе в полученной смеси оказалась равной доле кофе в исходной. Найдите эту долю.

Решите неравенство \[ \log_{x^2+\frac{1}{x^2}}\left(x-\dfrac1x\right)\gt \log_{x+\frac1x}\left(x-\dfrac1x\right). \]

Один из корней квадратного уравнения $px^2+qx+1=0$ ($p\lt 0$) равен $2010$. Решите неравенство \[ x+q\sqrt x+p\gt 0. \]

Точка $B$ лежит на отрезке $AC$ так, что $AB=3$, $BC=4$. На отрезках $AB$ и $BC$ по одну сторону от прямой $AC$ построены квадраты. Окружности, описанные вокруг этих квадратов, пересекаются в точке $D$, отличной от $B$. Найдите площадь треугольника $ACD$.

При каких значениях $x$ число \[ \sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{3-x} \] является целым?

Для каких из перечисленных значений параметра $a$ ($a=-1,\ 2010,\ \log_2 3$) найдётся такое значение $b$, что уравнение \[ \cos x+\cos ax=b \] имеет единственное решение?