Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Лошадь съедает 1 ц корма за 8 дней, осёл — за 12 дней, а верблюд — за 8 дней. На сколько дней хватит 85 ц корма 7 лошадям, 5 ослам и 5 верблюдам?

Найдите сумму общих членов прогрессий $12, 15, 18, \ldots$ и $1, 3, 9, \ldots$, если в каждой из них 100 членов.

Окружность радиуса 2 проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$, через середину стороны $AB$ и через середину отрезка $BP$, где $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ и серединного перпендикуляра к стороне $AC$. Найдите длину $AC$, если известно, что $PC=2\sqrt{3}$.

Решите уравнение \[\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\left(x^2-2x-2\right)=\log_{2+\sqrt{3}}\left(x^2-2x-3\right).\]

Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен $R$. Найдите величину двугранного угла при боковом ребре этой пирамиды, при которой максимален объём другой пирамиды, вершинами которой служат центр вписанной в исходную пирамиду сферы и точки касания этой сферы с боковыми гранями исходной пирамиды.