Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

В контейнере находятся изделия нескольких типов из пяти возможных: весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 5 кг и 10 кг. Суммарный вес изделий в контейнере равен 100 кг. Известно, что если выбрать из контейнера по одному изделию каждого из имеющихся в нём типов, то их суммарный вес будет равен 15 кг. Количество самых тяжёлых из находящихся в контейнере изделий на 5 больше, чем количество всех остальных изделий в нём. Определите, какие типы изделий и в каком количестве находятся в контейнере.

Решите уравнение \[ \left|\log_2\dfrac{x}{2}\right|^3+|\log_2 2x|^3=28. \]

Найдите наибольшее натуральное число, не превосходящее 2015, такое, что при умножении на 5 сумма его цифр (в десятичной записи) не меняется.

Окружность касается одной из сторон угла с вершиной $A$ в точке $B$ и пересекает вторую сторону в точках $C$ и $D$, причём $AD$ в три раза меньше $AC$. Косинус угла $A$ равен $\sqrt3/4$.
а) Найдите отношение $BC:BD$.
б) Найдите отношение радиуса окружности к $BD$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2\sin x+\sin^2 y-\sin^2 x\cos^2 y=1, \\ 2\cos^2 x+4\sin x-\cos^3 y=5. \end{cases} \]