Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

В десятичной записи натурального числа, состоящей только из цифр 4 и 5, количество цифр 5 нечётно и на 17 больше количества цифр 4. Найдите все возможные остатки от деления этого числа на 9.

Решите уравнение \[ x+\log_2 x-\log_3 x+\log_4 x-7=\left(\dfrac34-\log_3\sqrt2\right)\cdot\log_2 49. \]

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $M$ и $N$ соответственно. При этом $AM:MB=3:1$, $CN:NB=1:7$. Какой процент от площади четырёхугольника $AMNC$ составляет площадь треугольника $MBN$?

Решите уравнение \[ \left(\sqrt2\sin 3x+\sqrt{2+\cos 3x}\right)\left(2\cos\left(\sqrt2\arcsin x\right)-1\right)=0. \]

Найдите количество точек на координатной плоскости, через которые проходит как кривая $(4x^3-3x)^{15}=1-(4y^3-3y)^{16}$, так и кривая $x^2=1-y^2$.