Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите все натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению \[ x^3+2y^2=2016. \]

Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна 93, а сумма следующих пяти членов равна 2976. Найдите сумму первых семи членов прогрессии.

Серединами оснований $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ являются точки $K$ и $L$ соответственно. Известно, что $AD=10\cdot BC$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции. При каком значении отношения $AM:MB$ сумма площадей треугольников $BKN$ и $MNL$ будет наибольшей?

Решите неравенство \[ \sqrt{2\sin x\cos x}\gt \cos^3 x-\sin^3 x+\sin x\cos x(\sin x-\cos x). \]

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство \[ b\lt 16^{\frac{2x-1}{4x^2-4x+5}}\leqslant a \] выполняется для всех действительных $x$?