Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите уравнение \[ \mathrm{ctg}^2 x-\mathrm{tg}^2 x=\dfrac{12}{\cos 2x}. \]

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её второй член равен 3, а сумма первых трёх её членов равна 13.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена высота $CK$. Периметр треугольника $ABC$ равен 13, а периметр треугольника $BCK$ равен 5. Найдите периметр треугольника $ACK$.

Скорость парома линейно зависит от веса переправляемого груза так, что при нагрузке в 50 тонн скорость на 10% больше, чем при нагрузке в 60 тонн. При нагрузке в 70 тонн скорость парома равна 6 км/ч. Найдите скорость парома при наибольшем грузообороте. Грузооборотом называется произведение скорости (в км/ч) парома на вес перевозимого груза (в тоннах).

На координатной плоскости изобразите множество точек $(a,b)$, для каждой из которой область определения функции \[ f(x)=\log_{\frac{2a-b-x}{2a-b+x}}\left(\dfrac{x-a-b}{x+a+b}\right) \] не содержит ни одной точки из отрезка $[1;2]$.