Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите уравнение \[ \lg\left(-x^3-x\right)=\log_2|x|. \]

На выборах кандидат получил от $50{,}332\%$ до $50{,}333\%$ голосов. Какое при этом могло быть наименьшее число избирателей?

Решите уравнение \[ \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{x+2017}+\sqrt{x+2018}}=42. \]

Прямая, проходящая через точки, симметричные основанию высоты $AD$ остроугольного треугольника $ABC$ относительно сторон $AC$ и $AB$, пересекает эти стороны в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите расстояние от точки $B$ до точки пересечения отрезков $BE$ и $CF$, если $AC=b$ и $\angle ABC=\beta$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых неравенство \[ \left(x+\log_4|a|\right)\left(x+\log_{|a|}4\right)\left(x^2+10\cdot2^a\cdot x+a^2-3\right)\geqslant0 \] выполняется для любого $x$.