Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Стороны прямоугольного треугольника выражаются натуральными числами, при этом гипотенуза на 1 длиннее одного из катетов. Может ли длина какого-то катета данного треугольника быть равна: а) 2019; б) 2018; в) 2112?

Аня выписала одно за другим 2018 чисел $\frac{1\cdot2}{2}$, $\frac{2\cdot3}{2}$, $\frac{3\cdot4}{2}$, $\ldots$, $\frac{2018\cdot2019}{2}$ и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?

Кривая на координатной плоскости задана уравнением \[ (|x|-5)^2+(y-4)^2=\left(2-\frac{|x|}{x}\right)^2. \] Среди всех прямых, касающихся этой кривой в двух точках, найдите ту прямую, которая наименее удалена от точки с координатами $\left(10-4\sqrt6;6\right)$.

Найдите площадь выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB=3$, $AD=4$, $AC=6$, а площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ADC$ и в два раза больше площади треугольника $ABD$.

Определите значение функции \[ f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] в точке $x=2018$, если $f(2019)=f(2023)=0$, $f(2020)=f(2022)=3$, $f(2021)=4$.