Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $111$-м месте?

Тринадцать миллионеров приехали на экономический форум и поселились в отеле «Super Luxury+». В отеле есть номера трёх различных типов: 6-звёздочные, 7-звёздочные, и 8-звёздочные. Надо расселить миллионеров, причём так, чтобы использовать все три типа номеров (т. е. хотя бы одного человека поселить в 6-звёздочный номер, хотя бы одного — в 7-звёздочный и хотя бы одного — в 8-звёздочный). При этом нельзя более богатого миллионера селить в номер с меньшим количеством звёздочек, чем у менее богатого.
Сколькими способами их можно расселить (состояния у всех миллионеров попарно разные)?

На прямой расположены $15$ точек $A_1, \ldots, A_{15}$, идущие с промежутками 1 см. Петя строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{15}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Петя сможет построить по этим правилам?

Назовём число $x$ «20-подпирающим», если для любых 20 действительных чисел $a_1,\ldots,a_{20}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее 20-подпирающее число $x$, округлённое до тысячных по стандартным математическим правилам.

Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{100}$.

Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.