Задача 1
На стене висят двое одинаковых часов, длина минутных стрелок которых равна $\sqrt{2}$, а центры крепления их минутных стрелок удалены друг от друга на расстояние $d=5$. Известно, что одни часы отстают на 15 мин, а другие идут точно. Найти наибольшее и наименьшее расстояние между концами минутных стрелок, наблюдаемое в течение одного часа.
Ответ:
Решение:
Задача 2
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три корня, равные попарным суммам корней многочлена $Q(x)=x^3+2x^2-3x-1$. Найти $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
Задача 3
На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?
Ответ:
Решение:
Задача 4
Четыре числа $(x,\ y,\ z,\ t)$ удовлетворяют трем условиям: \[ x^2+y^2=1,\quad z^2+t^2=4,\quad xz+yt=-2. \] Найти $t$, если известно, что $y+z$ принимает наибольшее возможное значение.
Ответ:
Решение:
Задача 5
Трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) с прямым углом при вершине $A$ описана около окружности. Ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найти площадь треугольника $ABM$, если длина стороны $AB$ равна 2.
Ответ:
Решение: