Олимпиада «Росатом»

Члены последовательности $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяют соотношению $a_{n+1}=2a_n+3$, $a_1=a$ для любых $n$ и целом $a$. При каких $a$ число 637 является членом последовательности?

Найти наибольшее значение функции $y=24\pi x/(9\pi^2+16x^2)$ на множестве решений уравнения $\sin x\cdot\cos 2x-2\cos^3 x+\cos 2x-\sin x+2\cos x=1$.

Найти натуральное число, делящееся на 225 и имеющее 15 различных делителей.

На окружности совершенно случайно взяты три точки $A$, $B$ и $C$. Найти вероятность того, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

При каких $a$ система \[ \begin{cases} \left(x^2+(y-7)^2-9\right)\left((x-4)^2+(y-3)^2-1\right)=0,\\ ax-y-4a-2=0 \end{cases} \] имеет четыре решения?

Плоскость $P$ пересекает боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $M$, $N$, $K$ соответственно и образует угол $45^\circ$ с боковой гранью $SBC$. Найти объем пирамиды $SABC$, если произведение ее ребер $SA\cdot SB\cdot SC=5\sqrt{15}$, а пирамида $SMNK$ правильная.