Олимпиада «Росатом»

Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей первого дома поступил один заказ, от второго дома — два заказа, и т. д. от жителей шестого — шесть заказов. А вот жители последнего седьмого дома сделали $21$ заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и обоснуйте результат.

Найти все числа $C$, для которых неравенство \[ |\alpha\sin x+\beta\cos2x|\leqslant C \] выполняется при всех $x$ и любых $(\alpha;\beta)$ таких, что $\alpha^2+\beta^2\leqslant4$.

Члены последовательности $a_n$ удовлетворяют соотношению: $a_{n+2}=a_n-\dfrac{2}{a_{n+1}}$, $a_1=8$, $a_2=19$. Найти $n$, для которого $a_n=0$.

Петя бросает несколько раз на стол игральный кубик и считает сумму очков, выпавших на его верхней грани. Для любого натурального числа $n$ событие $A_n$ наступает, если эта сумма равна $n$. Найти вероятность события $A_{11}$.

На плоскости отмечено множество точек $M$, координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением \[ \sin(2x+3y)=\sin2x+\sin3y. \] Круг радиуса $R$, расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M$.
Какие значения может принимать радиус такого круга?

Точка $M$ лежит на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В квадрат $ABCD$ вписан прямоугольник $MNLK$ так, что одной из его вершин является точка $M$, а три другие расположены на различных сторонах квадрата основания. Прямоугольник $M_1N_1L_1K_1$ является ортогональной проекцией прямоугольника $MNLK$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Диагонали четырехугольника $MK_1L_1N$ перпендикулярны. Найти отношение $AM:MB$.