Олимпиада «Шаг в будущее»

Имеется шесть карточек с буквами С, О, Б, А, К, И. Сколькими способами можно расположить все карточки в ряд так, чтобы не было трех согласных подряд и не было трех гласных подряд?

Пусть $x$, $y$, $z$ — корни многочлена $P(t)=t^3-3t-1$. Найдите $x^7+y^7+z^7$.

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^\circ$, отрезок $CH$ — высота. Окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R=\frac{\sqrt{39}}{3}$ описана около треугольника $ABC$. В треугольник $BCH$ вписана окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом $r=\sqrt3-1$. Найдите длину $O_1O_2$.

Найдите все значения $x$, для которых неравенство \[ \sqrt{2x^2+8x+a}\gt ax^2+(1-a)(2x-1)-15 \] верно для любого $a\in[-2;0]$.

Основанием четырехугольной пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=7$, $BC=3\sqrt7$ и углом $A$, равным $60^\circ$. Высотой пирамиды $SABCD$ является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, параллельной диагонали основания $BD$ и проходящей через середину ребра $SC$ и точку $P$, лежащую на высоте пирамиды $SO$, причем $SP=2PO$, если расстояние от точки $S$ до плоскости сечения равно $3\sqrt3/2$.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопились сотни тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства может быть существенно осложнено возрастающей угрозой столкновения с этим мусором. Согласно результатам исследований удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью, равной 9000 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Пусть уравнение траектории движения обломка задано следующим образом: $81x^2+65(y-4)^2=5265$. На некотором удалении от указанной орбиты находится космическая научная станция, уравнение движения которой $36x^2+20(y-4)^2=720$. С нее стартует летательный аппарат, который движется по переходной эллиптической траектории: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{(y-y_0)^2}{z^2}=1$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Известно, что скорость движения по эллиптической орбите вида $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{(y-c)^2}{a^2}=1$, $a\geqslant b$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$, с большой полуосью, равной $a$, вычисляется по формуле \[ V=\sqrt{\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)}, \] $\mu\approx3{,}9\cdot10^5$ км$^3$/с$^2$ — гравитационный потенциал Земли, $r$ — расстояние от начала координат, расположенного в одном из фокусов эллипса, до движущейся точки.
Найдите максимальную скорость движения осколков космического мусора на указанной орбите. Определите параметры $z$, $y_0$, если известно, что переходная траектория должна проходить через точку, в которой скорость движения обломков максимальна и проходить через точку орбиты научной станции, в которой скорость движения станции минимальна. Выпишите уравнение переходной орбиты.