Олимпиада «Шаг в будущее»

Внутри ромба $ABCD$ построен равносторонний треугольник $AMB$. Найдите угол $CMD$.

Мимо бассейна объёмом 400 м$^3$ литров воды шли 37 слонов. Часть из них решило освежиться. После их водных процедур выяснилось, что в среднем каждый слон использовал столько кубометров воды, сколько слонов не участвовали в купании. Известно, что в бассейне остался наименьший из возможных объём воды. Определите, какой объём воды остался в бассейне, сколько воды было израсходовано. Какое наибольшее количество слонов при таких условиях могло участвовать в купании?

Определить количество решений системы \[ \begin{cases} (3-x)\cdot|x+1|=y,\\ y-6=a\cdot(x-3) \end{cases} \] в зависимости от параметра $a$.

Имеется 20 шаров с числами $1, 2, \ldots, 10$, каждое число встречается по два раза. Эти шары случайным образом раскладываются по два в 10 корзин. Из каждой корзины извлекается один шар. Какова вероятность того, что на извлеченных шарах все числа различны?

Решите неравенство: \[ \dfrac{2x^2-x+7}{\sqrt{2x^2-x+3}}\leqslant 7-\sqrt{9+\sqrt{16x^4-8x^2+1}}. \]

Внутри выпуклого четырехугольника пять прямых делят его на шесть четырехугольников, а две его противоположные стороны — на шесть одинаковых частей каждую. Найдите площадь четвертого из полученных четырехугольников, если сумма площадей первого, пятого и шестого равна 60.