Олимпиада «Шаг в будущее»

Решите неравенство: \[ \dfrac{\sqrt{x+3}+\sqrt[4]{9-x}-\sqrt3}{x^2-16}\leqslant 0. \]

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, имеющего равные диагонали, если длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны 13 и 7.

В коробке 22 красных и 25 синих шарика. Их распределили по двум коробкам: в первой должно получиться 24 шарика, а во второй — 23. После распределения посчитали процент синих шариков в каждой коробке и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение синих шариков по коробкам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ (a+1)\left(|x-2{,}3|-1\right)^2-2(a-3)\left(|x-2{,}3|-1\right)+a-1=0 \] имеет ровно два различных решения?

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $F$. Луч $BA$ пересекает описанную вокруг треугольника $DEF$ окружность в точке $L$, а луч $BC$ пересекает ту же окружность в точке $K$. Длина отрезка $LK$ равна 5, $\angle EBC=15^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $EFK$.

Существуют ли пять попарно различных целых чисел таких, что сумма любых четырех из них была бы квадратом натурального числа?