Олимпиада «Шаг в будущее»

Решить неравенство: \[ 11-\dfrac{12}{\sqrt{x^2-4x+13}}\leqslant\dfrac{7}{\sqrt{x^2-4x+5}}. \]

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высоты $AH_1$ и $BH_2$ пересекаются в точке $H$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABH$, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Известно, что $BN=12$, $CN=4$. Найти радиус окружности $\omega$.

Населённые пункты $A$, $B$, $C$ и $D$ находятся на берегу реки, причём $A$ и $D$ — вниз по течению реки, а $B$ — вверх по течению реки относительно пункта $C$. Пункты $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии 10 км по реке от пункта $C$, а расстояние между пунктами $C$ и $D$ по реке равно 105 км. Первый корабль отправляется из $B$ в сторону $C$, а через 6 минут после этого второй корабль отправляется из $B$ в $C$ и одновременно с ним 3-й отправляется из $A$ в $C$. В пункт $C$ все 3 корабля приплывают одновременно, после чего одновременно все три корабля отправляются в пункт $D$. 3-й корабль, доплыв до пункта $D$, сразу разворачивается и отправляется назад. На обратном пути 3-й корабль встречает второй в 15 км от пункта $D$, а первый — в 25 км от $D$. Найдите скорость течения реки и собственные скорости всех трёх кораблей.

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left(x+\sqrt{x^2}\right)(x-3)+2|x+2|-a=1 \] имеет ровно три различных корня?

Последовательность величин сторон в остроугольном треугольнике образует арифметическую прогрессию. Пусть $M$, $I$ — точки пересечения его медиан и биссектрис, соответственно. Найдите косинус его большего угла, если длина отрезка $MI$ в 10 раз меньше одной из сторон данного треугольника.

Иллюминатор представляет собой однокамерный стеклопакет (два однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает одно стекло, если известно, что внутрь корабля стеклопакет пропускает треть попадающего на него света, а остальное отражается (без потерь).