Всероссийская олимпиада школьников по математике

Можно ли из всех прямоугольников размерами $1\times1$, $1\times3$, $1\times5$, $\ldots$, $1\times2019$, взятых по одному разу, сложить прямоугольник, каждая сторона которого больше 1?

В треугольной пирамиде $SABC$ боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию $ABC$. Известно, что биссектрисы плоских углов $BAC$ и $BSC$ пересекаются. Докажите, что углы $ABC$ и $ACB$ равны.

Решите уравнение: $|\sin x-\sin y|+\sin x\cdot\sin y=0$.

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске размером $8\times9$ так, чтобы среди любых пяти подряд идущих клеток по горизонтали, вертикали или диагонали была отмеченная клетка?

При каких натуральных $n$ существуют натуральные $a$ и $b$ такие, что $n!=2^a+2^b$?

В треугольнике $ABC$ построена точка $D$, симметричная центру $I$ вписанной окружности относительно центра $O$ описанной окружности. Докажите, что $AD^2=4R^2-AB\cdot AC$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.