Всероссийская олимпиада школьников по математике

Число $x$ таково, что обе суммы $S=\sin64x+\sin65x$ и $C=\cos64x+\cos65x$ — рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Остроугольный равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$) вписан в окружность с центром в точке $O$. Лучи $BO$ и $CO$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Через точку $C'$ проведена прямая $\ell$, параллельная прямой $AC$. Докажите, что прямая $\ell$ касается окружности, описанной около треугольника $B'OC$.

На доске выписаны в ряд $n$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Вася хочет выписать под каждым числом $a_i$ число $b_i\geqslant a_i$ так, чтобы для любых двух из чисел $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство $b_1b_2\ldots b_n\leqslant2^{(n-1)/2}a_1a_2\ldots a_n$.

У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона («рубашка») у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд $n\gt 1$ карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем $n$ фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого треугольника.

В некоторых клетках квадрата $200\times200$ стоит по одной фишке — красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек, стоящих в клетках.

Изначально на доске написано натуральное число $N$. В любой момент Миша может выбрать число $a\gt 1$ на доске, стереть его и дописать все натуральные делители $a$, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано $N^2$ чисел. При каких $N$ это могло случиться?

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим через $I_A$, $I_B$, $I_C$ и $I_D$ центры окружностей $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ и $\omega_D$, вписанных в треугольники $DAB$, $ABC$, $BCD$ и $CDA$ соответственно. Оказалось, что $\angle BI_AA+\angle I_CI_AI_D=180^\circ$. Докажите, что $\angle BI_BA+\angle I_CI_BI_D=180^\circ$.