Всероссийская олимпиада школьников по математике

Парабола $y=20x^2+19x$ и прямая $y=20x+19$ пересекаются в двух точках. Верно ли, что график функции $y=20x^3+19x^2$ проходит через эти же две точки?

Дана равнобокая трапеция с основаниями 4 и 12 и высотой 4. Можно ли разрезать её на три части и сложить из этих частей квадрат?

Число 2019 представили в виде суммы различных нечётных натуральных чисел. Каково наибольшее возможное количество слагаемых?

На полуокружности с диаметром $AD$ отмечены точки $B$ и $C$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Точка $N$ такова, что $M$ — середина отрезка $AN$. Докажите, что прямые $BC$ и $DN$ перпендикулярны.

В шахматном турнире в один круг участвовало два мальчика и несколько девочек. Мальчики набрали на двоих 8 очков, в то время как все девочки набрали очков поровну. Сколько девочек могло участвовать в турнире? (Победа — 1 очко, ничья — 0,5 очка, поражение — 0 очков.)

Найдите такое наибольшее $n$, что сумма четвёртых степеней любых $n$ простых чисел, больших 10, делится на $n$.