Наибольшее/наименьшее значение

Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса $R$.

Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.

Найдите наибольший объём конуса с образующей, равной $a$.

Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

Доказать неравенство: $x \cdot e^{x-1} \geqslant 2x-1$.

Доказать неравенство (на естественной области определения): $$x \cdot \ln x^2 \geqslant 2 - 2e^{1-x}$$

Доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \leqslant 1+2\sqrt2-\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$

Доказать неравенство: $2^{2x-x^2} \leqslant \sqrt{x^2-2x+5}$.

а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.

Доказать, что для $x > 0$ выполняется неравенство: $\displaystyle \sin x > x - \frac{x^3}{6}$.

Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{4x+7-2x^2}\leqslant\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+10}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{x^4+4x^3+7x^2+6x+2}+3\geqslant\sqrt{-2x^2-4x+7}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство: $$3\cos\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\leqslant\sqrt{x^2-8x+25}$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство: $$2\cos\left(\pi\,x\right)\leqslant\log_2(x^2-4x+8).$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.