Ответ:
Решение:
Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.
Ответ:
Решение:
Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$x \cdot \ln x^2 \geqslant 2 - 2e^{1-x}$$
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \leqslant 1+2\sqrt2-\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$
Ответ:
Решение:
а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{4x+7-2x^2}\leqslant\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+10}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{x^4+4x^3+7x^2+6x+2}+3\geqslant\sqrt{-2x^2-4x+7}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство: $$3\cos\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\leqslant\sqrt{x^2-8x+25}$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство: $$2\cos\left(\pi\,x\right)\leqslant\log_2(x^2-4x+8).$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Как устроить полустанок? (старинная задача) В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В. Где надо устроить полустанок С, чтобы суммарно проезд от А до В по железной дороге АС и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 км в минуту.
Ответ:
Решение:
На произвольной параболе даны точки $A$ и $B$. Точка $C$ выбрана на дуге параболы между $A$ и $B$, так, что треугольник $ABC$ имеет максимальную площадь. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно оси симметрии параболы, пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. Найдите отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее расстояние может быть между двумя точками, одна из которых лежит на графике функции $y=x^2$, другая — на кривой, заданной уравнением \[ 4x^2+4y^2-48x-24y+163=0. \] В ответ запишите квадрат найденного расстояния.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки $M$, наименее удаленной от начала координат и лежащей на параболе $y=x^2-4x+3{,}5$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение функции \[ f(x)=\sin(x+\sin x)+\sin(x-\sin x)+\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-2\Bigr)\sin\sin x. \]
Ответ:
Решение:
Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что $p(0)=q(0)\gt 0$ и $p'(x)\sqrt{q'(x)}=\sqrt{2}$ для любого $x\in[0;1]$. Докажите, что если $x\in[0;1]$, то $p(x)+2q(x)\gt 3x$.
Ответ:
Решение: