Разное

Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — квадрат. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причём $CM:MB=1:2$. Известно, что диагональ $DB_{1}$ параллелепипеда перпендикулярна отрезку $C_{1}M$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.

Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ с основаниями $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$. Прямые $BA_{1}$ и $CB_{1}$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.

На диагонали $BD_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ отмечена точка $M$, причём $BM:MD_{1}=1:3$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямым $AB_{1}$ и $CB_{1}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?

Основание четырёхугольной пирамиды $SABCD$ — параллелограмм $ABCD$. Через середину ребра $SC$ и точку $A$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$ основания. Пусть $P$ — точка пересечения этой плоскости с прямой $CD$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.

В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_{1}$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$

Дан параллелограмм $ABCD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$ касаются диагонали $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что $MKNL$ — прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.

На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, на стороне $BC$ — точки $K$ и $L$, на стороне $CD$ — точки $M$ и $N$, на стороне $AD$ — точки $P$ и $Q$. При этом $AE=EF=FB$, $BK=KL=LC$, $CM=MN=ND$ и $DP=PQ=QA$.
а) Докажите, что отрезки $KQ$ и $LP$ делят отрезок $FM$ на три равных отрезка.
б) Известно, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна 18. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — точки пересечения прямых $EN$, $FM$, $KQ$ и $LP$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Пусть $P$ и $Q$ — точки касания окружностей с боковой стороной $AB$, а общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания, пересекает боковые стороны в точках $M$ и $N$.
а) Докажите, что $MN=PQ$.
б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если известно, что $AD=18$ и $BC=2$.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $AN$ пересекает окружность в точке $K$, а луч $MK$ пересекает основание $AD$ в точке $L$.
а) Докажите, что треугольник $AKL$ подобен треугольнику $MAL$.
б) Найдите отношение $AL:LD$.

$AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$ с углом $45^{\circ}$ при вершине $C$.
а) Докажите, что треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ прямоугольный.
б) Найдите отношение, в котором высота $AA_{1}$ делит отрезок $B_{1}C_{1}$, если известно, $BC=2B_{1}C_{1}$.

Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот треугольника $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. В треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$ проведены высоты.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.

Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $CD$ равны. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AC\cdot CK=BC^{2}$.
б) Найдите площадь этого четырёхугольника, если известно, что $AC=8$ и $\angle BAD=150^{\circ}$.

Дана трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Окружности, построенные на боковых сторонах $AB$ и $CD$ как на диаметрах, пересекаются в точках $M$ и $N$.
а) Докажите, что $MN\perp AD$.
б) Найдите $MN$, если известно, что боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20.

В трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AB=9$ и $CD=5$ биссектриса угла $D$ пересекает биссектрисы углов $A$ и $C$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а биссектриса угла $B$ пересекает те же две биссектрисы в точках $L$ и $K$, причём точка $K$ лежит на основании $AD$.
а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB$, а прямая $MK$ — сторону $BC$?
б) Найдите отношение $MN:KL$, если $LM:KN=3:7$.

На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опустили высоту $CH$. Из точки $H$ на катеты опустили перпендикуляры $HK$ и $HE$.
а) Докажите, что точки $A$, $B$, $K$ и $E$ лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если $AB=24$, $CH=7$.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $KLMN$, касается боковых сторон $KL$ и $MN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $KQ$ пересекает окружность в точке $A$, а луч $PA$ пересекает основание $KN$ в точке $B$.
а) Докажите, что треугольник $AKB$ подобен треугольнику $KPB$.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если $PQ:KB=8:3$.

Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, касающаяся прямой $BC$, а через вершины $B$ и $C$ — другая окружность, касающаяся прямой $AB$. Продолжение общей хорды $BD$ этих окружностей пересекает отрезок $AC$ в точке $E$, а продолжение хорды $AD$ одной окружности пересекает другую окружность в точке $F$.
а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABF$ равновелики.
б) Найдите отношение $AE:EC$, если $AB=5$ и $BC=9$.

На основании $BC$ трапеции $ABCD$ взята точка $E$, лежащая на одной окружности с точками $A$, $C$ и $D$. Другая окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, касается прямой $CD$.
а) Докажите, что треугольник $ACD$ подобен треугольнику $ABE$
б) Найдите $BC$, если $AB=12$, $BE:EC=4:5$.

Прямые, проходящие через точку $O$, расположенную вне окружности, касаются окружности в точках $P$ и $Q$; $A$, $B$ и $C$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $M$, лежащей на окружности, на прямые $OP$, $OQ$ и $PQ$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle CBM=\angle APM$.
б) Найдите $AM$, если $MC=4$ и $MB=8$.