Разное

Исследовать количество корней уравнения на отрезке $[0;~2\pi]$ в зависимости от параметра $a$: $$\cos2x-2\sin x+2a^2-6a+3.$$

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2-10x-\cos\frac{x-5}{\pi}=a$$ имеет хотя бы одно решение.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2-6x-\cos\frac{x-3}{\pi}=a$$ имеет хотя бы одно решение.

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств $$\left\{\begin{aligned} &|x-1|+|5-x| \leqslant 4, \\ &\frac{x^2-6x+2y+7}{x+y-4} \leqslant 0 \end{aligned}\right.$$ и найдите площадь получившейся фигуры.

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств $$\left\{\begin{aligned} &|x|+|4-x| \leqslant 4, \\ &\frac{x^2-4x-2y+2}{y-x+3} \geqslant 0 \end{aligned}\right.$$ и найдите площадь получившейся фигуры.

На рёбрах $BB_1$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно так, что $BK:KB_1=1:3$ и $CM:MC1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$, если $AB=4$, $BC=3$ и $AA_1=12$.

На рёбрах $BB_1$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно так, что $BK:KB_1=3:1$ и $CM:MC1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$, если $AB=4$, $BC=3$ и $AA_1=12$.

На рёбрах $BB_1$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно так, что $BK:KB_1=3:1$ и $CM:MC1=2:1$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$, если $AB=4$, $BC=3$ и $AA_1=12$.

На рёбрах $BB_1$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно так, что $BK:KB_1=1:3$ и $CM:MC1=2:1$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$, если $AB=4$, $BC=3$ и $AA_1=12$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ со стороной основания $AB=8$ и высотой $AA_1=6$ найти угол между $AB_1$ и $BC_1$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ со стороной основания $AB=12$ и высотой $AA_1=5$ найти угол между $AB_1$ и $BC_1$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ со стороной основания $AB=6$ и высотой $AA_1=8$ найти угол между $AB_1$ и $BC_1$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ со стороной основания $AB=5$ и высотой $AA_1=12$ найти угол между $AB_1$ и $BC_1$.

На боковом ребре $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ выбрана точка $M$ так, что $CM:MS=1:3$. Найти угол между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если $SC=8$ и $AB=4$.

На боковом ребре $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ выбрана точка $M$ так, что $CM:MS=2:1$. Найти угол между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если $SC=6$ и $AB=4$.

На боковом ребре $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ выбрана точка $M$ так, что $CM:MS=3:1$. Найти угол между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если $SC=8$ и $AB=4$.

На боковом ребре $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ выбрана точка $M$ так, что $CM:MS=1:2$. Найти угол между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если $SC=6$ и $AB=4$.

На середине бокового ребра $SC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ взята точка $M$. Найти тангенс угла между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если сторона основания $AB=4$ и боковое ребро $\displaystyle SA=\frac{8}{\sqrt3}$.

На середине бокового ребра $SC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ взята точка $M$. Найти тангенс угла между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если сторона основания $AB=6$ и боковое ребро $\displaystyle SA=2\sqrt7$.

На середине бокового ребра $SC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ взята точка $M$. Найти тангенс угла между прямой $BM$ и высотой $SO$ пирамиды, если сторона основания $AB=6$ и боковое ребро $\displaystyle SA=4\sqrt3$.