Простейшие задачи аналитической геометрии

В задачах этой группы геометрическая конструкция уже задана в координатном виде, и остается только воспользоваться одной-двумя известными формулами. Проверяются базовые навыки: вычисление расстояния между двумя точками; деление отрезка в данном отношении; вычисление угла между векторами; применение скалярного произведения для проверки ортогональности векторов.

Версия для печати

Номер страницы: 1 2 3

831. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~-1)$, $B(-1,~4)$ и $C(5,~0)$ найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$.

832. В трапеции $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-3)$, $B(4,~-1)$ и $C(2,~3)$ основание $AB$ в два раза больше основания $CD$. Найти координаты вершины $D$ трапеции.

833. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-4,~-2)$ и $B(-2,~7)$ пересекаются в точке $O(1,~2)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

834. Окружность с центром в точке $O(4,~1)$ проходит через точку $M(1,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.

835. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &(x-3)^2+(y-2)^2=25, \\ &\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10. \end{aligned}\right.$$

836. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~-4)$, $B(-3,~2)$ и $C(7,~4)$ найти длину отрезка, соединяющего середины сторон $AB$ и $BC$.

837. В трапеции $ABCD$ заданы координаты двух вершин при основании: $A(2,~4)$ и $B(8,~3)$. Точка $M(3,~1)$ — середина боковой стороны $AD$ трапеции. Основание $CD$ трапеции в два раза больше основания $AB$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.

838. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(2,~-2)$ и $B(1,~4)$ пересекаются в точке $O(4,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

839. $A(-6,~-1)$ и $B(-2,~5)$ — две диаметрально противоположные точки окружности.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс.

840. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=5, \\ &\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10. \end{aligned}\right.$$

841. Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~1)$, $B(-1,~5)$ и $C(7,~-1)$ — прямоугольный с прямым углом $B$.

842. В параллелограмме $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-4,~-2)$ и $B(4,~-4)$. Точка $O(1,~0)$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Найти координаты двух других вершин параллелограмма.

843. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~2)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~0)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

844. Вокруг треугольника с вершинами в точках $A(-6,~2)$, $B(-6,~6)$ и $C(2,~6)$ описана окружность.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с координатными осями.

845. Графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &x^2+y^2-6x-2y=3 \\ &x^2+y^2-6x-6y=7. \end{aligned}\right.$$

846. Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(2,~-3)$, $B(-4,~5)$ и $C(4,~-1)$ — равнобедренный с основанием $AC$.

847. В квадрате $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-1,~-3)$ и $B(4,~2)$. Точка $M(1{,}5,~4{,}5)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты двух других вершин квадрата.

848. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~5)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

849. Вокруг прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ описана окружность. Координаты вершин: $A(-2,~1)$, $C(6,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.

850. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=5, \\ &x^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{25}{4}. \end{aligned}\right.$$

851. Доказать, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-1,~-2)$, $B(3,~-3)$ и $C(1,~6)$ является прямоугольным.

852. Доказать, что четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-2)$, $B(3,~-7)$, $C(4,~0)$ и $D(-1,~5)$ является параллелограммом. Является ли этот четырехугольник ромбом? Квадратом? Обоснуйте ответ.

853. Точки $A(2,~-5)$ и $B(7,~-4)$ — вершины параллелограмма $ABCD$. На его диагонали $BD$ взята точка $M(6,~-2)$ так, что $DM=3\cdot BM$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.

854. Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты вершины $C$ треугольника и координаты точки $O$ пересечения медиан треугольника.

855. Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $AP \bot BC$. Найдите площадь треугольника.

856. Написать уравнение окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~5)$, $B(0,~-1)$ и $C(12,~3)$. Найти координаты точек пересечения этой окружности с осью ординат.

857. Точки $A(-1,~-2)$ и $B(-5,~6)$ — диаметрально противоположные точки некоторой окружности $\omega$. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(7,~7)$, касающейся окружности $\omega$ внешним образом.

858. Графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &x^2-4x+y^2-2y=0, \\ &x^2+8x+y^2-8y+12=0. \end{aligned}\right.$$

859. Найти площадь ромба $ABCD$ с вершинами в точках $A(-1,~1)$, $B(4,~-4)$, $C(3,~3)$ и $D(-2,~8)$.

860. В треугольнике $ABC$ с вершиной в точке $B(-4,~7)$ проведена средняя линия $MN$, параллельная стороне $AC$; $\displaystyle M\left(-\frac52,~1\right)$, $\displaystyle N\left(\frac12,~5\right)$. Найти медиану треугольника, проведенную из вершины $B$.