Скалярное произведение
Версия для печати
992. Найти скалярное произведение $\overline{AB}\cdot\overline{AC}$, где $A$, $B$, $C$ — вершины равнобедренного треугольника, в котором $AB=BC$ и $AC=4$.
Ответ: 8
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
993. Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec a=(2\alpha,~-5\alpha,~3)$ и $\vec b=(3\alpha,~\alpha+1,~2)$ ортогональны.
Ответ: $\{2,~3\}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
994. Найти величину угла $\angle A$ в треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~4,~1)$, $B(2,~5,~-3)$, $C(-1,~-4,~3)$.
Ответ: 120°
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
1011. Даны четыре точки: $A(5a;~a;~1)$, $B(2a;~3a;~4)$, $C(2a;~a;~2)$, $D(a;~1;~-3)$. Найти все значения $a$, при которых векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ ортогональны.
Ответ: $-5$, $3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
1028. Даны координаты точек: $A(1, 2, 3)$, $B(x+2, 2-x, 9)$ и $C(x-2, 4, 0)$. Найти $x$, при которых $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$.
Ответ: $-3$, $7$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
1033. Найти $\angle A$ в $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(3, 1, 0)$, $B(4, 2, -2)$ и $C(3, 2, -1)$.
Ответ: 30°
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7186. На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=3:1$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SC}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SC$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-12 15:20:36
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7187. На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=1:3$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SB}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SB$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-13 03:44:12
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7188. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=2$, $AA_{1}=6$. Точка $N$ — середина ребра $CD$, точка $M$ расположена на ребре $CC_{1}$, причём $C_{1}M:CM=1:2$, $K$ — точка пересечения диагоналей грани $AA_{1}D_{1}D$. Найдите угол между прямыми $KM$ и $A_{1}N$.
Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{\sqrt{22}}{33}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-13 03:47:16
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7189. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=6$, $AA_{1}=2$. Точки $F$ и $K$ расположены на рёбрах $AD$ и $B_{1}C_{1}$ соответственно, причём $AF:FD=C_{1}K:KB_{1}=1:2$, $P$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$. Найдите угол между прямыми $PK$ и $B_{1}F$.
Ответ: $\displaystyle\arccos\frac{5\sqrt{6}}{18}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-13 03:48:07
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7190. а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$
б) В тетраэдре $ABCD$ известно, что $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$, $AD=DB=2$, $DC=4$. Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины $D$.
Ответ: б) $\displaystyle \frac{\sqrt{22}}{3}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-13 03:57:02
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7191. а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$
б) Дан тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=BD=3$, $AC=CD=5$, $AD=BC=4$. Найдите $AM$, где $M$ — точка пересечения медиан грани $BCD$.
Ответ: $\displaystyle \frac{10}{3}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-13 03:57:41
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7192. Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $\sqrt{3}$.
Ответ: 1
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-13 03:59:35
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
7193. Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $3$.
Ответ: $\sqrt3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2025-02-13 03:59:55
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru