Разное

Номер страницы:  1  2 3 4 5 6 7 8 9 10

1601. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=6$ и боковыми сторонами $AB=AC=5$. Расстояние от вершины $A$ призмы до плоскости $(A_1BC)$ (начертите сечение) равно $\displaystyle \frac{12}{5}$. Найти объём призмы.

1602. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=8$ и боковыми сторонами $AB=AC=5$. Расстояние от вершины $A$ призмы до плоскости $(A_1BC)$ (начертите сечение) равно $\displaystyle \frac{12}{5}$. Найти объём призмы.

1603. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=10$ и боковыми сторонами $AB=AC=13$. Расстояние от вершины $A$ призмы до плоскости $(A_1BC)$ (начертите сечение) равно $\displaystyle \frac{60}{13}$. Найти объём призмы.

1604. В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей параллельно основанию через точку $M$, делящей высоту $SO$ в отношении $SM:MO=2:3$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $4\pi\sqrt3$.

1605. В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину $M$ высоты $SO$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $\pi\sqrt3$.

1606. В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей параллельно основанию через точку $M$, делящей высоту $SO$ в отношении $SM:MO=1:2$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $2\pi\sqrt3$.

1607. Найти отношение объёма правильной треугольной пирамиды к объёму описанного вокруг неё конуса.

1608. Найти отношение объёма правильной треугольной пирамиды к объёму вписанного в неё конуса.

1609. Найти отношение объёма правильной четырехугольной пирамиды к объёму описанного вокруг неё конуса.

1610. В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписана правильная треугольная призма $LMNL_{1}M_{1}N_{1}$. Все три вершины основания $LMN$ призмы лежат на боковых рёбрах пирамиды. Известно, что $LL_{1}=LM$, т. е. высота призмы равна стороне её основания. Кроме того, $SA=AB=a$, т. е. каждое ребро пирамиды равно $a$. Чему равен объём призмы?

1611. В правильную четырёхугольную пирамиду $SABCD$ вписана правильная четырёхугольная пирамида $OLMNP$. Все четыре вершины основания вписанной пирамиды лежат на апофемах пирамиды $SABCD$. Вершина вписанной пирамиды — точка $O$ — совпадает с центром основания $ABCD$ пирамиды $SABCD$. Известно, что $OL=LM$, т. е. боковое ребро вписанной пирамиды равно стороне её основания. Кроме того, $SA=AB=a$, т. е. каждое ребро пирамиды $SABCD$ равно $a$. Чему равен объём вписанной пирамиды?

1612. В правильную четырёхугольную пирамиду $SABCD$ вписан куб. Все четыре вершины одной из граней куба лежат на основании $ABCD$ пирамиды. Все четыре вершины противоположной грани куба лежат на апофемах пирамиды. Известно, что $SA=AB=a$, т. е. боковое ребро пирамиды равно $a$ и равно стороне её основания. Чему равен объём куба?

3905. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ взяты соответственно точки $M$ и $M_1$, причём $BM:MC=B_1M_1:M_1C_1$. Докажите, что $AM=A_1M_1$.

3906. Медиана в треугольнике является его высотой. Докажите, что такой треугольник — равнобедренный.

3907. В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$. Найти расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$, если $AB=c$, $AC=b$.

3908. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, выходящим из одной вершины.

3909. На рисунке $AC=AD$ и $AB \perp CD$. Докажите, что $BC=BD$ и $\angle ACB = \angle ADB$.

3910. Биссектриса треугольника является его медианой. Докажите, что такой треугольник — равнобедренный.

3911. Докажите признак равенства треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

3912. Через середину $M‍$ отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $A‍$ и $B$.‍ Докажите, что $M‍$ также середина $AB$.‍

4412. По круговой дорожке стадиона длиной 400 м из одной точки в одном направлении выбегают 3 спортсмена с постоянными скоростями 12 км/ч, 15 км/ч и 17 км/ч. Через какое наименьшее время спортсмены встретятся?

4413. Сколько существует пар натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 2000?

4414. Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 — при делении на 2, 2 — при делении на 3, 3 — при делении на 4, 4 — при делении на 5, 5 — при делении на 6, 6 — при делении на 7.

4415. Сколькими способами можно составить комиссию из трёх человек, выбирая её членов из пяти супружеских пар так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?

4423. Найти наибольшее натуральное число, не превышающее 500, которое при делении на 5 даёт остаток 3, а при делении на 6 — остаток 4.

4424. Сколько существует пар натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 864?

4454. По круговой дорожке стадиона длиной 400 м из диаметрально противоположных точек в одном направлении выбегают два спортсмена с постоянными скоростями 21,6 км/ч и 30,6 км/ч. Через какое время спортсмены встретятся во второй раз?

4455. По круговой дорожке стадиона длиной 500 м из диаметрально противоположных точек в одном направлении выбегают два спортсмена с постоянными скоростями 25,2 км/ч и 36 км/ч. Через какое время спортсмены встретятся во второй раз?

4456. По круговой дорожке стадиона длиной 600 м из диаметрально противоположных точек в одном направлении выбегают два спортсмена с постоянными скоростями 26,1 км/ч и 36,9 км/ч. Через какое время спортсмены встретятся во второй раз?

4457. По круговой дорожке стадиона длиной 900 м из диаметрально противоположных точек в одном направлении выбегают два спортсмена с постоянными скоростями 28,8 км/ч и 36 км/ч. Через какое время спортсмены встретятся во второй раз?