Разное

Сюда попадают задачи, которые по каким-либо причинам не могут быть отнесены к другим тематическим разделам. Или их авторы поленились отыскать в нашем каталоге подходящий раздел...

 Версия для печати

Номер страницы: 1 2 3 4 5 6  7  8 9 10
6295. Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот треугольника $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
6296. Через вершину $B$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена прямая, параллельная диагонали $AC$. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания $AD$ в точке $E$.
а) Докажите, что треугольник $DBE$ равновелик трапеции $ABCD$.
б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 24, а средняя линия равна 13.
6297. Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$. Известно, $\angle BAC+\angle AKC=90^{\circ}$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если известно также, что $\cos\angle BAC=\frac{3}{5}$ и $BC=48$.
6298. В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$, $CH$ — высота трапеции.
а) Докажите, что треугольник $ABH$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ACH$, если известно, что боковая сторона трапеции равна 2, $\angle BOC=60^{\circ}$, а $BC$ — меньшее основание.
6299. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно, причём отрезок $BM$ в 4 раза меньше стороны $BC$. Прямые $BK$ и $AM$ пересекаются в точке $O$ — середине $BK$, $CK=4$, $OM=2$.
а) Докажите, что треугольник $AMC$ равнобедренный.
б) Найдите $BK$, если известно, что $\angle OAC=60^{\circ}$.
6300. Окружность с центром $O$, расположенным внутри прямоугольной трапеции $ABCD$, проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$.
а) Докажите, что угол $BOC$ вдвое больше угла $BTC$.
б) Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
6301. Две окружности радиусов $R$ и $r$ пересекаются в точках $A$ и $B$ и касаются прямой в точках $C$ и $D$; $N$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ ($B$ между $A$ и $N$). Найдите:
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
6302. На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, на стороне $BC$ — точки $K$ и $L$, на стороне $CD$ — точки $M$ и $N$, на стороне $AD$ — точки $P$ и $Q$. При этом $AE=EF=FB$, $BK=KL=LC$, $CM=MN=ND$ и $DP=PQ=QA$.
а) Докажите, что отрезки $KQ$ и $LP$ делят отрезок $FM$ на три равных отрезка.
б) Известно, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна 18. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — точки пересечения прямых $EN$, $FM$, $KQ$ и $LP$.
6303. Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $K$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
6304. В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
6309. В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
6310. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?
6311. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде — 28, на роликах — 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах — 10, на сноуборде и на роликах — 5, а на всех трех — 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? (В число умеющих кататься на сноуборде включены те, кто умеет кататься ещё на чём-либо, и так далее).
6312. В кондитерском отделе супермаркета посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?
6313. На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, на стороне $BC$ — точки $K$ и $L$, на стороне $CD$ — точки $M$ и $N$, на стороне $AD$ — точки $P$ и $Q$. При этом $AE=EF=FB$, $BK=KL=LC$, $CM=MN=ND$ и $DP=PQ=QA$.
а) Докажите, что отрезки $KQ$ и $LP$ делят отрезок $FM$ на три равных отрезка.
б) Известно, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна 18. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — точки пересечения прямых $EN$, $FM$, $KQ$ и $LP$.
6314. В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
6315. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
6316. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $P$ и $Q$ — середины сторон соответственно $AB$ и $AC$. Прямые $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$.
6317. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что треугольники $PBC_{1}$ и $PB_{1}C$ подобны.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$, если $BP=BB_{1}$, $\angle ABC=80^{\circ}$, $BC=2\sqrt{3}$, а точка $B$ лежит между $C$ и $P$.
6318. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков) соответственно.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
6319. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — квадрат. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причём $CM:MB=1:2$. Известно, что диагональ $DB_{1}$ параллелепипеда перпендикулярна отрезку $C_{1}M$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
6320. Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ с основаниями $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$. Прямые $BA_{1}$ и $CB_{1}$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
6321. На диагонали $BD_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ отмечена точка $M$, причём $BM:MD_{1}=1:3$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямым $AB_{1}$ и $CB_{1}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?
6322. Основание четырёхугольной пирамиды $SABCD$ — параллелограмм $ABCD$. Через середину ребра $SC$ и точку $A$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$ основания. Пусть $P$ — точка пересечения этой плоскости с прямой $CD$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.
6323. В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_{1}$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
6325. Дан параллелограмм $ABCD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$ касаются диагонали $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что $MKNL$ — прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.
6326. На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, на стороне $BC$ — точки $K$ и $L$, на стороне $CD$ — точки $M$ и $N$, на стороне $AD$ — точки $P$ и $Q$. При этом $AE=EF=FB$, $BK=KL=LC$, $CM=MN=ND$ и $DP=PQ=QA$.
а) Докажите, что отрезки $KQ$ и $LP$ делят отрезок $FM$ на три равных отрезка.
б) Известно, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна 18. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — точки пересечения прямых $EN$, $FM$, $KQ$ и $LP$.
6327. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Пусть $P$ и $Q$ — точки касания окружностей с боковой стороной $AB$, а общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания, пересекает боковые стороны в точках $M$ и $N$.
а) Докажите, что $MN=PQ$.
б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если известно, что $AD=18$ и $BC=2$.
6328. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $AN$ пересекает окружность в точке $K$, а луч $MK$ пересекает основание $AD$ в точке $L$.
а) Докажите, что треугольник $AKL$ подобен треугольнику $MAL$.
б) Найдите отношение $AL:LD$.
6329. $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$ с углом $45^{\circ}$ при вершине $C$.
а) Докажите, что треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ прямоугольный.
б) Найдите отношение, в котором высота $AA_{1}$ делит отрезок $B_{1}C_{1}$, если известно, $BC=2B_{1}C_{1}$.
© Моисеев Д. В., 2015-2023 г.
Не допускается использование материалов сайта в печатных изданиях и на других сайтах. Авторскими правами защищены каталог, тексты заданий, решения. При возникновении правовых вопросов и споров свяжитесь, пожалуйста, с администратором сайта (см. раздел «О сайте»).