Разное

Номер страницы: 1 2 3 4 5 6 7  8  9 10

6330. Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот треугольника $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.

6331. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. В треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$ проведены высоты.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.

6332. Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $CD$ равны. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AC\cdot CK=BC^{2}$.
б) Найдите площадь этого четырёхугольника, если известно, что $AC=8$ и $\angle BAD=150^{\circ}$.

6333. Дана трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Окружности, построенные на боковых сторонах $AB$ и $CD$ как на диаметрах, пересекаются в точках $M$ и $N$.
а) Докажите, что $MN\perp AD$.
б) Найдите $MN$, если известно, что боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20.

6334. В трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AB=9$ и $CD=5$ биссектриса угла $D$ пересекает биссектрисы углов $A$ и $C$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а биссектриса угла $B$ пересекает те же две биссектрисы в точках $L$ и $K$, причём точка $K$ лежит на основании $AD$.
а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB$, а прямая $MK$ — сторону $BC$?
б) Найдите отношение $MN:KL$, если $LM:KN=3:7$.

6335. На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опустили высоту $CH$. Из точки $H$ на катеты опустили перпендикуляры $HK$ и $HE$.
а) Докажите, что точки $A$, $B$, $K$ и $E$ лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если $AB=24$, $CH=7$.

6336. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $KLMN$, касается боковых сторон $KL$ и $MN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $KQ$ пересекает окружность в точке $A$, а луч $PA$ пересекает основание $KN$ в точке $B$.
а) Докажите, что треугольник $AKB$ подобен треугольнику $KPB$.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если $PQ:KB=8:3$.

6337. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, касающаяся прямой $BC$, а через вершины $B$ и $C$ — другая окружность, касающаяся прямой $AB$. Продолжение общей хорды $BD$ этих окружностей пересекает отрезок $AC$ в точке $E$, а продолжение хорды $AD$ одной окружности пересекает другую окружность в точке $F$.
а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABF$ равновелики.
б) Найдите отношение $AE:EC$, если $AB=5$ и $BC=9$.

6338. На основании $BC$ трапеции $ABCD$ взята точка $E$, лежащая на одной окружности с точками $A$, $C$ и $D$. Другая окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, касается прямой $CD$.
а) Докажите, что треугольник $ACD$ подобен треугольнику $ABE$
б) Найдите $BC$, если $AB=12$, $BE:EC=4:5$.

6339. Прямые, проходящие через точку $O$, расположенную вне окружности, касаются окружности в точках $P$ и $Q$; $A$, $B$ и $C$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $M$, лежащей на окружности, на прямые $OP$, $OQ$ и $PQ$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle CBM=\angle APM$.
б) Найдите $AM$, если $MC=4$ и $MB=8$.

6340. Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $K$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.

6341. В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.

6342. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.

6343. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $P$ и $Q$ — середины сторон соответственно $AB$ и $AC$. Прямые $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$

6344. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$.
а) Докажите, что $KM\parallel BC$.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен 10, а $BC=16$

6345. Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.
а) Докажите, что $CN:CM=LB:LA$.
б) Найдите $MN$, если $LB:LA=1:3$, а радиус меньшей окружности равен $3\sqrt{2}$.

6346. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AH$. Перпендикуляр, восставленный к той же стороне в точке $C$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$.
а) Докажите, что $BH\parallel ED$.
б) Найдите отношение $BH:ED$, если $\angle ADC=60^{\circ}$.

6347. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\frac{AP}{PD}=\sin D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

6348. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найдите меньшее основание трапеции, если $AD=28$, а радиус большей окружности равен $\frac{7}{2}$.

6349. В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.

6350. Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO$.
б) Найдите площадь треугольника $APO$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 10, $\angle BAC=75^{\circ}$, $\angle ABC=60^{\circ}$.

6352. Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a=\sqrt{30}$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.

6354. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найти меньшее основание трапеции, если $AD=28$, радиус большей окружности равен $3{,}5$.

6355. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 20 млн. руб. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на $13\%$ по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число $x$ млн. руб. в первый и во второй годы, а также целое число $y$ млн. руб. в третий и в четвёртый годы. Найти наименьшие значения $x$ и $y$, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

6357. Петя играет солдатиками из двух разных наборов, всего солдатиков в двух наборах меньше 111. В первом наборе солдатиков меньше, чем во втором, но больше чем $46$. Петя может построить колонну по несколько солдатиков в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдатиков, большее $8$, и при этом ни в каком ряду не будет солдатиков из разных наборов.
а) Сколько солдатиков может быть в первом наборе и сколько во втором? Приведите один пример.
б) Может ли Петя построить колонну указанным способом по $13$ солдатиков в ряд?
в) Сколько всего солдатиков может быть у Пети? Укажите все возможные варианты.

6399. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.

6400. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.

6401. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=2$, высота $SO=4$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.

6402. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=4$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.

6403. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 2, на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.