Уравнения, корни многочленов

Ответ: $-1$, $1\pm3i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 21:44:07
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $1$, $3\pm4i$, $2-i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 21:44:54
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $\pm3$, $\pm3i$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\pm\frac{i}{\sqrt2}$, $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}\pm\frac{i}{\sqrt2}$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 21:45:11
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $-2$, $4$, $1\pm\sqrt3 i$, $-2\pm2\sqrt3 i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 21:45:29
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $-1$, $1\pm2i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 21:57:01
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $-1$, $2\pm i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 21:57:27
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}\,i-1}{2}$, $\displaystyle\frac{\sqrt{3}\,i+1}{2}$, $-1$, $\sqrt{3}\,i-1$, $-\sqrt{3}\,i-1$, $2$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 21:59:18
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i$, $\sqrt{2}\,i+\sqrt{2}$, $\pm i$, $\pm1$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:01:58
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $1-i$, $3\pm2i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:02:39
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $1-i$, $4\pm i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:03:09
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $5\pm2i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:08:47
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $3;\pm2i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:09:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $3+i;1\pm2i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:09:13
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $x=1-\sqrt{3}\,i,x=\sqrt{3}\,i+1,x=-2,x=\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i-3}{2},x=-\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i+3}{2},x=3$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:09:30
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: 1, $3\pm4i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:10:01
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $4\pm2i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:10:19
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $2;\pm4i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:10:31
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $2-i;3\pm5i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:10:47
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $x=\sqrt{3}\,i-1,x=-\sqrt{3}\,i-1,x=2,x=-\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i-3}{2},x=\frac{{3}^{\frac{3}{2}}\,i+3}{2},x=-3$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:11:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Ответ: $-1$, $5\pm3i$

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-30 22:11:18
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru

Решение. Замена $t=z^3$: $t^2-4t+8=0$, корни $t=2\pm2i=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\pm i\sin\frac{\pi}{4}\right)$. Осталось решить уравнения $\displaystyle z^3=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ и $\displaystyle z^3=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)$. Выпишем корни уравнений сначала в тригонометрической, затем в алгебраической формах:
$z_1=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)$
$z_2=\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=i-1$
$z_3=\sqrt2\left(\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}-i\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)$
$z_4=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}-i\sin\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}+i\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\right)$
$z_5=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}+i\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)$
$z_5=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)=-1-i$.

Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-12-04 21:28:59
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru