1. 1006. Составить уравнения высоты $BD$ треугольника с вершинами $A(-2,~0,~1)$, $B(4,~-1,~4)$ и $C(7,~-3,~4)$.
Решение. Составим сперва параметрические уравнения прямой $AC$, на которую падает искомая высота. В качестве направляющего вектора прямой $AC$ можно взять какой-нибудь вектор, коллинеарный вектору $\overline{AC}=(7-(-2),~-3-0,~4-1)=(9,~-3,~3)$. К примеру, таковым является вектор $l=(3,~-1,~1)$. Теперь составим уравнения прямой $AC$, проходящей через точку $A(-2,~0,~1)$ параллельно вектору $l=(3,~-1,~1)$: $$ \begin{aligned} &x = -2+3t, \\ &y = -t, \\ &z = 1+t. \\ \end{aligned} $$ Найдем теперь на прямой $AC$ найти такую $D$, что $BD \bot \vec l$. Так как $D\in AC$, то будем искать координаты точки $D$ в виде $D(-2+3t,~-t,~1+t)$. Тогда $\overline{BD}=(-2+3t-4,~-t-(-1),~1+t-4)=(3t-6,~1-t,~t-3)$. Так как векторы $BD$ и $\vec l$ ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Составим соответствующее уравнение: $$\overline{BD}\cdot\vec l=3(3t-6)+(-1)(1-t)+(t-3)=11t-22=0,$$ откуда $t=2$. При $t=2$ точка $D$ имеет координаты $D(4,~-2,~3)$. Осталось составить уравнение прямой $BD$, проходящей через точки $B(4,~-1,~4)$ и $D(4,~-2,~3)$. Самостоятельно закончите решение задачи.
Ответ: $\displaystyle \frac{x-4}{0}=y+1=z-4$
2. 1007. Найти расстояние от точки $A(2,~3,~-1)$ до прямой $x=1+t$, $y=2+t$, $z=13+4t$.
Ответ: 6
3. 1081. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(-5,~3,~4)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-4}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-3}{2}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
Ответ: $(3,2,1)$, $\sqrt{74}$
4. 1082. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(2,~2,~2)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-5}{2}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
Ответ: $(1,2,3)$, $\sqrt2$
5. 1083. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(-3,~1,~4)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-2}{1}=\frac{y-6}{4}=\frac{z-11}{8}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
Ответ: $(1,2,3)$, $3\sqrt2$
6. 1084. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(2,~1,~5)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-7}{2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-3}{1}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.
Ответ: $(3,2,1)$, $3\sqrt2$